Post para o roda de ciência deste mês.
Ilustração "Day in the life of a boy", Norman Rockwell
Domingo de manhã. Dia pra acordar mais tarde. Deixo o despertador me dar duas horas a mais de sono para além das 7 da manhã habituais. Como é domingo, eu me dou ao luxo de botar uma fornada de pão de queijo congelado contrabandeado do Brasil durante o Natal. Afinal cereal todos os dias é cansativo. Enquanto o forno trabalha incessamente naquela mistura maravilhosa de queijo e farinha, eu puxo um artigo da imensa pilha de artigos a ler na minha mesa. A pilha de artigos lidos ainda está num nível muito baixo. Mas antes, uma olhada no cluster da escola para ver se as minhas simulações não foram matadas pelo scheduler. Wow, as simulações terminaram! Deixa eu rodar as análises nos resultados... o artigo fica pra depois... volta pra pilha dos não-lidos
Depois do pão de queijo, o frio. Michigan nessa época do ano é terrível. E o pior é que os dias ensolarados são os mais frios. É como se a natureza quisesse confundir nossos sentidos. Dias frios são bonitos. Dias menos frios são horríveis. Entro no ônibus que no fim de semana é mais demorado e vou pra minha salinha que eu divido com outros 4 alunos de pós-graduação. Muitas tarefas por fazer, muitas leituras de capítulo pra me preparar pras aulas. E eu ainda preciso tocar a pesquisa!
Percebi que eu nunca falei explicitamente aqui o que eu faço por aqui então é chegada a hora da verdade! Eu sou um aluno de pós-graduação no departamento de Engenharia Elétrica da Universidade de Michigan. E estou na divisão de Sistemas, que é uma união dos grupos de Processamento de Sinais, Comunicações e Controle. Com alguma inclinação pela parte de Controle. Controle, pra quem não conhece, é a área que é responsável por fazer sistemas de controle automático de coisas. Como pilotos automáticos de avião, robôs em planta de fábrica, sistemas de injeção eletrônica, robôs que andam sozinho, braços mecânicos, uma pá de coisas...
Mas eu tenho uma quedinha antiga, antiga mesmo, pelas ciências biomédicas. Fico fascinado com o contraste entre a engenharia e a medicina. Sempre tive dúvida sobre quais das duas carreiras eu deveria seguir. A única certeza que eu tinha é que eu queria seguir a trilha acadêmica independente da área. Escolhi engenharia na época do vestibular mas por conta disso eu acabei começando minha carreira como "pesquisador" na área de imagens médicas. Tomografia. Foi com esse intuito que eu vim pro grupo de processamento de sinais da Michigan : pra continuar estudando isso.
Interesses flutuam, porém. Quando eu estava na graduação, em Engenharia de Computação, o curso que eu mais detestava era o de Sistemas de Controle. Ainda bem que eu prestei atenção, ainda que a contragosto, nas aulas porque eu descobri aqui uma área de pesquisa que eu nunca imaginei que existia: aplicação de controle em sistemas celulares. Celulares de célula, aquela biológica mesmo. E é nisso que eu estou agora.
[Um aparte: aqueles que estão pra começar numa área interdisciplinar minha recomendação é a seguinte: vá com tudo. É penoso no começo, ter que se acostumar com um vocabulário novo, um universo de idéias novas mas vale a pena. Vale muito a pena. É preciso humildade porque a sensação de que você não sabe de nada, que já sentimos em nossas áreas nativas, fica muito mais alta e por vezes é frustrante não conseguir nem saber como formar uma pergunta para um professor ou colaborador... Mas depois que nos acostumamos, os ganhos passam ser imensos. Aprende-se muito até sobre a sua área original, ganha-se diversidade intelectual com as formas diferentes de pensamento, além de adquirir um senso maior de que todas as ciências são, fundamentalmente, a mesma coisa.]
Então minha rotina, não a de um artesão em tempo integral mas a de um aprendiz ainda, consiste em dividir os 7 dias da semana entre as matérias e a pesquisa. E as duas coisas sozinhas, tal qual um gás, já conseguiriam ocupar uma semana inteira. As duas ao mesmo tempo, tal qual um gás, aumentam a pressão! Mas é divertido. E não é como se não sobrasse tempo para sair numa sexta-feira ou outra. O diabo é que depois de algumas cervejas eu começo a pensar nos motivos pelo qual as simulações se comportam daquela maneira. Chego até a pensar em pedir uma caneta e usar o guardanapo como papel mas desisto, afinal é sexta-feira. "Oh well. Amanhã eu testo isso."
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A subtração, todos sabemos, é o inverso da adição. Então vamos tentar definir a operação de subtração como a inversa da adição
, a partir da definição recursiva de antes. Já aí surge o primeiro problema:
nos leva a quatro inversas: (i)
, (ii)
, (iii)
e (iv)
. As formas (i) e (iii) parecem com algo próximo da nossa subtração, mas percebam que a simples inversão do conceito no nosso mundo primitivo não é o suficiente. Afinal as formas (ii) e (iv) são, estritamente, inversões da adição, apesar de não parecerem com o que queremos. Intuitivamente, (ii) e (iv) deveriam gerar números negativos, mas eles não aparecem. O problema é que a definição da adição (e de todas as operações naturais) foi feitas a partir de uma recursão. Batemos na parede por causa disso.
Para resolver este nosso pequeno problema, vamos partir para uma viagem pela teoria dos conjuntos que nos libertará da prisão recursiva que é o conjunto de números naturais. Neste processo, vamos precisar do conceito de produto cartesiano entre dois conjuntos
e
definido como sendo o conjunto de todos os pares ordenados do tipo
onde
a
. Se o conjunto
e o conjunto
,
. Notem que os pares ordenados são elementos do conjunto, e não conjuntos. Além disso, é importante notar que o elemento (a,b) é diferente do elemento (b,a) - daí o termo par ordenado.
Mais interessante para nós é o conjunto do produto cartesiano entre dois conjunto de números naturais
.
Qualquer par de dois números naturais faz parte do conjunto . Só para reforçar conceitos, observe que o par
é diferente do par
. Então vamos pegar o par
sendo
e
dois números naturais qualquer. Vamos definir um subconjunto de
,
.
Vamos chamar esse conjunto de uma classe de equivalência, o que significa apenas que todos os elementos de um conjunto são equivalentes. Por exemplo, temos a classe de equivalência e dizemos que os elementos
e
são equivalentes.
Destas classes, vamos nos importar com apenas 3 tipos de classes de equivalência:
1. As classes do tipo , onde
.
2. As classes do tipo , onde
.
3. A classe de equivalência .
É possível provar que esses três grupos formam uma partição do conjunto , i.e., todo elemento de
pertence a uma dessas classes e somente a uma delas. Todos os pares
onde
fazem parte da classe 3. Seja um par
onde
, podemos escrever que existe um número natural m tal que
e o par passa a ser escrito como
. Dá pra ver que este par pertence à classe de equivalência
por indução finita em b e que portanto pertence ao grupo 1. Analogamente, é possível para mostrar que
pertence a alguma classe do grupo 2 quando
.
Agora vem a parte mais conceitualmente interessante. Vamos estabelecer uma ligação um-pra-um, um isomorfismo, entre uma classe de equivalência do tipo 1 e um número natural. A partir de agora o número e a classe
são exatamente a mesma coisa. É uma espécie de renomeação dos números naturais. O número
poderá tambem ser chamado de
, ou de
, as três formas são completamente iguais, significam a mesma coisa. Para isso funcionar direito, precisamos definir uma soma nessa nova nomenclatura como sendo
. Pensem um pouco nessa definição e vocês verificarão que essa soma satisfaz as condições exigidas da soma até aqui. O mesmo é verdade pra multiplicação. É agora a hora de expandirmos os conceitos.
Agora vamos usar a classe de equivalência numa soma como foi definido acima.
! Temos um elemento neutro na adição! A classe
se comporta exatamente como o número
.
Vamos ir um pouco mais longe e incluir as classes do tipo 2 na soma. Verifiquemos or curiosidade, o que acontece quando somamos ! Voilá. Temos um número negativo. Se a classe de equivalência
representar o número
, então a classe de equivalência representa o número
representa o negativo de
. "Menos
". Pronto. Aquela partição do conjunto
nos 3 tipos de classes de equivalência acabou de gerar o conjunto dos números inteiros: o tipo 1 define os números naturais (positivos), o tipo 2 define os números negativos e a classe no tipo 3 é o número zero.
Os mais perspicazes também devem ter notado que a classe também pode ser vista como uma função de subtração
, afinal a classe
representa o número
. A subtração e os números inteiros estão fortemente interligados como começamos dizendo no nosso texto!
